Lös 4x^2-10x=-12

$$4 x ^ { 2 } - 10 x = - 12$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4}\approx 1,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}\approx 1,25-1,198957881i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-10x=-12$$

Addera 12 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-10x-\left(-12\right)=-12-\left(-12\right)$$

Subtraktion av -12 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-10x-\left(-12\right)=0$$

Subtrahera -12 från 0.

$$4x^{2}-10x+12=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -10 och c med 12 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

Kvadrera -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-16\times 12}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 12.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-192}}{2\times 4}$$

Addera 100 till -192.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-92}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur -92.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{23}i}{2\times 4}$$

Motsatsen till -10 är 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{8} när ± är plus. Addera 10 till 2i\sqrt{23}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{23}i}{8}$$

Dela 10+2i\sqrt{23} med 8.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{8} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{23} från 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i+10}{8}$$

Dela 10-2i\sqrt{23} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-10x=-12$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-10x}{4}=-\frac{12}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{4}\right)x=-\frac{12}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-10}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{12}{4}$$

Dela -12 med 4.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-3$$

Dividera -\frac{5}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-3+\frac{25}{16}$$

Addera -3 till \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{23}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Addera \frac{5}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}$$