Lös 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0,190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1,309016994$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 6 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrera 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

Addera 36 till -16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 20.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} när ± är plus. Addera -6 till 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

Dela -6+2\sqrt{5} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{5} från -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

Dela -6-2\sqrt{5} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+6x=-1$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Minska bråktalet \frac{6}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Dividera \frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

Addera -\frac{1}{4} till \frac{9}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Subtrahera \frac{3}{4} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$