Lös 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx-81. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Lösningen är det par som ger Summa 48.

$$a=-6 b=54$$

Skriv om 4x^{2}+48x-81 som \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 27 i den andra gruppen.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Lös 2x-3=0 och 2x+27=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 48 och c med -81 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Addera 2304 till 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-48±60}{8} när ± är plus. Addera -48 till 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Minska bråktalet \frac{12}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-48±60}{8} när ± är minus. Subtrahera 60 från -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-108}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Addera 81 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Subtraktion av -81 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Subtrahera -81 från 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Dela 48 med 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Dividera 12, koefficienten för termen x, med 2 för att få 6. Addera sedan kvadraten av 6 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Kvadrera 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Addera \frac{81}{4} till 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Faktorisera x^{2}+12x+36. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Förenkla.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Subtrahera 6 från båda ekvationsled.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$