Lös 4x^2+4x=5

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 5$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx 0,724744871$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}\approx -1,724744871$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+4x=5$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+4x-5=5-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+4x-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 4 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 4}$$

Addera 16 till 80.

$$x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 96.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} när ± är plus. Addera -4 till 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-4}{8}$$

Dela -4+4\sqrt{6} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{6} från -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{8}$$

Dela -4-4\sqrt{6} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=5$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{5}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{5}{4}$$

Dela 4 med 4.

$$x^{2}+x=\frac{5}{4}$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}$$

Addera \frac{5}{4} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$