Lös 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 4 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Addera 16 till -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} när ± är plus. Addera -4 till 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Dela -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} med 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} när ± är minus. Subtrahera 8i\sqrt{2} från -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Dela -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} med 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Dela 4 med 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Addera -\frac{9}{4} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$