Lös 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 4.

$$1,4 2,2$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+4=5 2+2=4$$

Lösningen är det par som ger Summa 4.

$$a=2 b=2$$

Skriv om 4x^{2}+4x+1 som \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Bryt ut 2x i 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Lös 2x+1=0 för att hitta ekvationslösning.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 4 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Addera 16 till -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-4}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Dela 4 med 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Addera -\frac{1}{4} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$x=-\frac{1}{2}$$