Lös 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Lös ut x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx+10. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 10.

$$1,10 2,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+10=11 2+5=7$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=2 b=5$$

Skriv om x^{2}+7x+10 som \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Utfaktor x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x+2 genom att använda distributivitet.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Lös x+2=0 och x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=-2 x=-5$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 28 och c med 40 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Kvadrera 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Addera 784 till -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-28±12}{8} när ± är plus. Addera -28 till 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Dela -16 med 8.

$$x=-2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-28±12}{8} när ± är minus. Subtrahera 12 från -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Dela -40 med 8.

$$x=-5$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-2 x=-5$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Subtrahera 40 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Subtraktion av 40 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Dela 28 med 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Dela -40 med 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Dividera 7, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{7}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{7}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{7}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Addera -10 till \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktorisera x^{2}+7x+\frac{49}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Subtrahera \frac{7}{2} från båda ekvationsled.

$$x=-2 x=-5$$