Lös 4x^2+15x-25=0

$$4 x ^ { 2 } + 15 x - 25 = 0$$

Lös ut x

$$x=-5$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx-25. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=15 ab=4\left(-25\right)=-100$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -100.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

Lösningen är det par som ger Summa 15.

$$a=-5 b=20$$

Skriv om 4x^{2}+15x-25 som \left(4x^{2}-5x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(20x-25\right)$$

Utfaktor x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 4x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(4x-5\right)\left(x+5\right)$$

Lös 4x-5=0 och x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+15x-25=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 15 och c med -25 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 4\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera 15.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 4\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-16\left(-25\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -25.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+400}}{2\times 4}$$

Addera 225 till 400.

$$x=\frac{-15±\sqrt{625}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 625.

$$x=\frac{-15±25}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-15±25}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-15±25}{8} när ± är plus. Addera -15 till 25.

$$x=\frac{10}{8}$$

Minska bråktalet \frac{10}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-15±25}{8} när ± är minus. Subtrahera 25 från -15.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Dela -40 med 8.

$$x=-5$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+15x-25=0$$

Addera 25 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}+15x-25-\left(-25\right)=-\left(-25\right)$$

Subtraktion av -25 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+15x=-\left(-25\right)$$

Subtrahera -25 från 0.

$$4x^{2}+15x=25$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+15x}{4}=\frac{25}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x=\frac{25}{4}$$

Dividera \frac{15}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{15}{8}. Addera sedan kvadraten av \frac{15}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\left(\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{25}{4}+\left(\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{15}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{25}{4}+\frac{225}{64}$$

Addera \frac{25}{4} till \frac{225}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{625}{64}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{625}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{64}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{15}{8}=\frac{25}{8} x+\frac{15}{8}=-\frac{25}{8}$$

Subtrahera \frac{15}{8} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{4} x=-5$$