Lös 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Lös ut x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx-20. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Lösningen är det par som ger Summa 11.

$$a=-5 b=16$$

Skriv om 4x^{2}+11x-20 som \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Utfaktor x i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 4x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Lös 4x-5=0 och x+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 11 och c med -20 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Addera 121 till 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±21}{8} när ± är plus. Addera -11 till 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Minska bråktalet \frac{10}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±21}{8} när ± är minus. Subtrahera 21 från -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Dela -32 med 8.

$$x=-4$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Addera 20 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Subtraktion av -20 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Subtrahera -20 från 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Dela 20 med 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Dividera \frac{11}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{11}{8}. Addera sedan kvadraten av \frac{11}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{11}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Addera 5 till \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Subtrahera \frac{11}{8} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$