Lös 4x+2y=0quadtext{D)}6x-2y=0

$$4 x + 2 y = 0 \quad \text { D) } 6 x - 2 y = 0$$

Lös ut x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$4x+2y=0$$

Subtrahera 2y från båda ekvationsled.

$$4x=-2y$$

Dividera båda led med 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)y$$

Multiplicera \frac{1}{4} med -2y.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Ersätt x med -\frac{y}{2} i den andra ekvationen, 6x-2y=0.

$$6\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=0$$

Multiplicera 6 med -\frac{y}{2}.

$$-3y-2y=0$$

Addera -3y till -2y.

$$-5y=0$$

Dividera båda led med -5.

$$y=0$$

Ersätt y med 0 i x=-\frac{1}{2}y. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=0$$

Systemet har lösts.

$$x=0,y=0$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{4}{4\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=0,y=0$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Gör 4x och 6x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 6 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 4.

$$6\times 4x+6\times 2y=0,4\times 6x+4\left(-2\right)y=0$$

Förenkla.

$$24x+12y=0,24x-8y=0$$

Subtrahera 24x-8y=0 från 24x+12y=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$24x-24x+12y+8y=0$$

Addera 24x till -24x. Termerna 24x och -24x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$12y+8y=0$$

Addera 12y till 8y.

$$20y=0$$

Dividera båda led med 20.

$$y=0$$

Ersätt y med 0 i 6x-2y=0. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$6x=0$$

Dividera båda led med 6.

$$x=0$$

Systemet har lösts.

$$x=0,y=0$$