Lös 4w^2+20w-11=0

$$4 w ^ { 2 } + 20 w - 11 = 0$$

Lös ut w

$$w = -\frac{11}{2} = -5\frac{1}{2} = -5,5$$

$$w=\frac{1}{2}=0,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4w^{2}+aw+bw-11. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -44.

$$-1,44 -2,22 -4,11$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+44=43 -2+22=20 -4+11=7$$

Lösningen är det par som ger Summa 20.

$$a=-2 b=22$$

Skriv om 4w^{2}+20w-11 som \left(4w^{2}-2w\right)+\left(22w-11\right).

$$\left(4w^{2}-2w\right)+\left(22w-11\right)$$

Utfaktor 2w i den första och den 11 i den andra gruppen.

$$2w\left(2w-1\right)+11\left(2w-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2w-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(2w-1\right)\left(2w+11\right)$$

Lös 2w-1=0 och 2w+11=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$w=\frac{1}{2} w=-\frac{11}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4w^{2}+20w-11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 20 och c med -11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera 20.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -11.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

Addera 400 till 176.

$$w=\frac{-20±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 576.

$$w=\frac{-20±24}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$w=\frac{-20±24}{8}$$

Lös nu ekvationen w=\frac{-20±24}{8} när ± är plus. Addera -20 till 24.

$$w=\frac{4}{8}$$

Minska bråktalet \frac{4}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$w=\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen w=\frac{-20±24}{8} när ± är minus. Subtrahera 24 från -20.

$$w=-\frac{44}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-44}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$w=-\frac{11}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$w=\frac{1}{2} w=-\frac{11}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4w^{2}+20w-11=0$$

Addera 11 till båda ekvationsled.

$$4w^{2}+20w-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Subtraktion av -11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4w^{2}+20w=-\left(-11\right)$$

Subtrahera -11 från 0.

$$4w^{2}+20w=11$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4w^{2}+20w}{4}=\frac{11}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$w^{2}+\frac{20}{4}w=\frac{11}{4}$$

Dela 20 med 4.

$$w^{2}+5w=\frac{11}{4}$$

Dividera 5, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$w^{2}+5w+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$w^{2}+5w+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

Addera \frac{11}{4} till \frac{25}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$w^{2}+5w+\frac{25}{4}=9$$

Faktorisera w^{2}+5w+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(w+\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(w+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Förenkla.

$$w+\frac{5}{2}=3 w+\frac{5}{2}=-3$$

Subtrahera \frac{5}{2} från båda ekvationsled.

$$w=\frac{1}{2} w=-\frac{11}{2}$$