Lös 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Lös ut n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 11 från båda led.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4n^{2}+an+bn-11. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Lösningen är det par som ger Summa -7.

$$a=-11 b=4$$

Skriv om 4n^{2}-7n-11 som \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Bryt ut n i 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Bryt ut den gemensamma termen 4n-11 genom att använda distributivitet.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Lös 4n-11=0 och n+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4n^{2}-7n=11$$

Subtrahera 11 från båda ekvationsled.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Subtraktion av 11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -7 och c med -11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Addera 49 till 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{7±15}{8} när ± är plus. Addera 7 till 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Minska bråktalet \frac{22}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{7±15}{8} när ± är minus. Subtrahera 15 från 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Dela -8 med 8.

$$n=-1$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Dividera -\frac{7}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Addera \frac{11}{4} till \frac{49}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktorisera n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Addera \frac{7}{8} till båda ekvationsled.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$