Lös 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

Lös ut y

$$y=-1$$

$$y=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 4.

$$y^{2}-y-2=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som y^{2}+ay+by-2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=-2 b=1$$

Skriv om y^{2}-y-2 som \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right).

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

Bryt ut y i y^{2}-2y.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

Bryt ut den gemensamma termen y-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

Lös y-2=0 och y+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$y=2 y=-1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -4 och c med -8 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Addera 16 till 128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 144.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{4±12}{8} när ± är plus. Addera 4 till 12.

$$y=\frac{16}{8}$$

Dela 16 med 8.

$$y=2$$

Lös nu ekvationen y=\frac{4±12}{8} när ± är minus. Subtrahera 12 från 4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Dela -8 med 8.

$$y=-1$$

Ekvationen har lösts.

$$y=2 y=-1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Addera 8 till båda ekvationsled.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Subtraktion av -8 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

Subtrahera -8 från 0.

$$4y^{2}-4y=8$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

Dela -4 med 4.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

Dela 8 med 4.

$$y^{2}-y=2$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Addera 2 till \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktorisera y^{2}-y+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$y=2 y=-1$$