Lös 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0,625+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0,625-1,452368755i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -5 och c med 10 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Addera 25 till -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur -135.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} när ± är plus. Addera 5 till 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} när ± är minus. Subtrahera 3i\sqrt{15} från 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Subtrahera 10 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

Subtraktion av 10 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-10}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Dividera -\frac{5}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Addera -\frac{5}{2} till \frac{25}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Addera \frac{5}{8} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$