Lös 4x^2-53x+60=0

$$4 { x }^{ 2 } -53x+60 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

$$x=12$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx+60. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-53 ab=4\times 60=240$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 240.

$$-1,-240 -2,-120 -3,-80 -4,-60 -5,-48 -6,-40 -8,-30 -10,-24 -12,-20 -15,-16$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-240=-241 -2-120=-122 -3-80=-83 -4-60=-64 -5-48=-53 -6-40=-46 -8-30=-38 -10-24=-34 -12-20=-32 -15-16=-31$$

Lösningen är det par som ger Summa -53.

$$a=-48 b=-5$$

Skriv om 4x^{2}-53x+60 som \left(4x^{2}-48x\right)+\left(-5x+60\right).

$$\left(4x^{2}-48x\right)+\left(-5x+60\right)$$

Utfaktor 4x i den första och den -5 i den andra gruppen.

$$4x\left(x-12\right)-5\left(x-12\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-12 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-12\right)\left(4x-5\right)$$

Lös x-12=0 och 4x-5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=12 x=\frac{5}{4}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-53x+60=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -53 och c med 60 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{\left(-53\right)^{2}-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

Kvadrera -53.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-16\times 60}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 60.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-960}}{2\times 4}$$

Addera 2809 till -960.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{1849}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 1849.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±43}{2\times 4}$$

Motsatsen till -53 är 53.

$$x=\frac{53±43}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{53±43}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{53±43}{8} när ± är plus. Addera 53 till 43.

$$x=\frac{96}{8}$$

Dela 96 med 8.

$$x=12$$

Lös nu ekvationen x=\frac{53±43}{8} när ± är minus. Subtrahera 43 från 53.

$$x=\frac{10}{8}$$

Minska bråktalet \frac{10}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=12 x=\frac{5}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-53x+60=0$$

Subtrahera 60 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-53x+60-60=-60$$

Subtraktion av 60 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-53x=-60$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-53x}{4}=-\frac{60}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x=-\frac{60}{4}$$

Dela -60 med 4.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x=-15$$

Dividera -\frac{53}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{53}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{53}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=-15+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{53}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x+\frac{2809}{64}=-15+\frac{2809}{64}$$

Addera -15 till \frac{2809}{64}.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x+\frac{2809}{64}=\frac{1849}{64}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{53}{4}x+\frac{2809}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1849}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1849}{64}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{53}{8}=\frac{43}{8} x-\frac{53}{8}=-\frac{43}{8}$$

Addera \frac{53}{8} till båda ekvationsled.

$$x=12 x=\frac{5}{4}$$