Lös 4x^2-4x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som 4x^{2}+ax+bx-3. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -4.

$$a=-6 b=2$$

Skriv om 4x^{2}-4x-3 som \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

Bryt ut 2x i 4x^{2}-6x.

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Lös 2x-3=0 och 2x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -4 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Addera 16 till 48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{4±8}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±8}{8} när ± är plus. Addera 4 till 8.

$$x=\frac{12}{8}$$

Minska bråktalet \frac{12}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±8}{8} när ± är minus. Subtrahera 8 från 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-4}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$4x^{2}-4x=3$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Dela -4 med 4.

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Addera \frac{3}{4} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$