Lös 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -4 och c med -16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Addera 16 till 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} när ± är plus. Addera 4 till 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Dela 4+4\sqrt{17} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{17} från 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Dela 4-4\sqrt{17} med 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Addera 16 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Subtraktion av -16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Subtrahera -16 från 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Dela -4 med 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Dela 16 med 4.

$$x^{2}-x=4$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Addera 4 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$