Lös 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx-15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Lösningen är det par som ger Summa -4.

$$a=-10 b=6$$

Skriv om 4x^{2}-4x-15 som \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Lös 2x-5=0 och 2x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -4 och c med -15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Addera 16 till 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±16}{8} när ± är plus. Addera 4 till 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Minska bråktalet \frac{20}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±16}{8} när ± är minus. Subtrahera 16 från 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Addera 15 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Subtraktion av -15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Subtrahera -15 från 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Dela -4 med 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Addera \frac{15}{4} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$