Lös 4x^2-28x=-49

$$4 { x }^{ 2 } -28x=-49$$

Lös ut x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lägg till 49 på båda sidorna.

$$4x^{2}-28x+49=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx+49. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-28 ab=4\times 49=196$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 196.

$$-1,-196 -2,-98 -4,-49 -7,-28 -14,-14$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-196=-197 -2-98=-100 -4-49=-53 -7-28=-35 -14-14=-28$$

Lösningen är det par som ger Summa -28.

$$a=-14 b=-14$$

Skriv om 4x^{2}-28x+49 som \left(4x^{2}-14x\right)+\left(-14x+49\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(-14x+49\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den -7 i den andra gruppen.

$$2x\left(2x-7\right)-7\left(2x-7\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-7 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-7\right)\left(2x-7\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(2x-7\right)^{2}$$

Lös 2x-7=0 för att hitta ekvationslösning.

$$x=\frac{7}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-28x=-49$$

Addera 49 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-28x-\left(-49\right)=-49-\left(-49\right)$$

Subtraktion av -49 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-28x-\left(-49\right)=0$$

Subtrahera -49 från 0.

$$4x^{2}-28x+49=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -28 och c med 49 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 49}}{2\times 4}$$

Kvadrera -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 49}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 49}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 49.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-784}}{2\times 4}$$

Addera 784 till -784.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=-\frac{-28}{2\times 4}$$

Motsatsen till -28 är 28.

$$x=\frac{28}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{28}{8}$$

Minska bråktalet \frac{28}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-28x=-49$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-28x}{4}=-\frac{49}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)x=-\frac{49}{4}$$

Dela -28 med 4.

$$x^{2}-7x=-\frac{49}{4}$$

Dividera -7, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{49}{4}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{-49+49}{4}$$

Addera -\frac{49}{4} till \frac{49}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=0$$

Faktorisera x^{2}-7x+\frac{49}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{2}=0 x-\frac{7}{2}=0$$

Addera \frac{7}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{7}{2}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$x=\frac{7}{2}$$