Lös 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Lös ut x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 120 från båda led.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Dividera båda led med 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx-30. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 1.

$$a=-5 b=6$$

Skriv om x^{2}+x-30 som \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Utfaktor x i den första och den 6 i den andra gruppen.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Lös x-5=0 och x+6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=5 x=-6$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+4x=120$$

Subtrahera 120 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Subtraktion av 120 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 4 och c med -120 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Addera 16 till 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±44}{8} när ± är plus. Addera -4 till 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Dela 40 med 8.

$$x=5$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±44}{8} när ± är minus. Subtrahera 44 från -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Dela -48 med 8.

$$x=-6$$

Ekvationen har lösts.

$$x=5 x=-6$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Dela 4 med 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Dela 120 med 4.

$$x^{2}+x=30$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Addera 30 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=5 x=-6$$