Lös 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+4x=1$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 4 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Addera 16 till 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} när ± är plus. Addera -4 till 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Dela -4+4\sqrt{2} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{2} från -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Dela -4-4\sqrt{2} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Dela 4 med 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Addera \frac{1}{4} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$