Lös 4x^2+12x+40=0

$$4 { x }^{ 2 } +12x+40=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{2}\approx -1,5+2,783882181i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{2}\approx -1,5-2,783882181i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+12x+40=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 12 och c med 40 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Kvadrera 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-640}}{2\times 4}$$

Addera 144 till -640.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-496}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur -496.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{31}i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±4\sqrt{31}i}{8} när ± är plus. Addera -12 till 4i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{31}i}{8}$$

Dela -12+4i\sqrt{31} med 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±4\sqrt{31}i}{8} när ± är minus. Subtrahera 4i\sqrt{31} från -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{31}i-12}{8}$$

Dela -12-4i\sqrt{31} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+12x+40=0$$

Subtrahera 40 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+12x+40-40=-40$$

Subtraktion av 40 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+12x=-40$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{40}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Dela 12 med 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{40}{4}$$

Dela -40 med 4.

$$x^{2}+3x=-10$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-10+\frac{9}{4}$$

Addera -10 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{31}{4}$$

Faktorisera x^{2}+3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{2}$$