Lös 4a^2-5a+1=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+1 = 0$$

Lös ut a

$$a=\frac{1}{4}=0,25$$

$$a=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4a^{2}+aa+ba+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Lösningen är det par som ger Summa -5.

$$a=-4 b=-1$$

Skriv om 4a^{2}-5a+1 som \left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right).

$$\left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right)$$

Utfaktor 4a i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$4a\left(a-1\right)-\left(a-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen a-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(a-1\right)\left(4a-1\right)$$

Lös a-1=0 och 4a-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -5 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrera -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Addera 25 till -16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$a=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$a=\frac{5±3}{8}$$

Lös nu ekvationen a=\frac{5±3}{8} när ± är plus. Addera 5 till 3.

$$a=\frac{8}{8}$$

Dela 8 med 8.

$$a=1$$

Lös nu ekvationen a=\frac{5±3}{8} när ± är minus. Subtrahera 3 från 5.

$$a=\frac{2}{8}$$

Minska bråktalet \frac{2}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4a^{2}-5a=-1$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{4}$$

Dividera -\frac{5}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Addera -\frac{1}{4} till \frac{25}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktorisera a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Förenkla.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Addera \frac{5}{8} till båda ekvationsled.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$