Lös 3x-5x^2=3

$$3x-5 { x }^{ 2 } =3$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}\approx 0,3-0,714142843i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}\approx 0,3+0,714142843i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$-5x^{2}+3x-3=3-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-5x^{2}+3x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -5, b med 3 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera -4 med -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 20 med -3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\left(-5\right)}$$

Addera 9 till -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\left(-5\right)}$$

Dra kvadratroten ur -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 2 med -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} när ± är plus. Addera -3 till i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{-10}$$

Dela -3+i\sqrt{51} med -10.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{51} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{-10}$$

Dela -3-i\sqrt{51} med -10.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Dividera båda led med -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=\frac{3}{-5}$$

Division med -5 tar ut multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=\frac{3}{-5}$$

Dela 3 med -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3}{-5}$$

Dela 3 med -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Dividera -\frac{3}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{9}{100}$$

Addera -\frac{3}{5} till \frac{9}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{51}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{51}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{51}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{51}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{51}i}{10}$$

Addera \frac{3}{10} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10} x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$