Lös 3x+3=x^2+4x+5

$$3x+3= { x }^{ 2 } +4x+5$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}\approx -0,5-1,322875656i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\approx -0,5+1,322875656i$$

Steg med lösningsformeln

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Subtrahera 4x från båda led.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Slå ihop 3x och -4x för att få -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Subtrahera 5 från båda led.

$$-x+3-x^{2}-5=0$$

Subtrahera 5 från 3 för att få -2.

$$-x-2-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}-x-2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med -1 och c med -2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 1 till -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur -7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} när ± är plus. Addera 1 till i\sqrt{7}.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{-2}$$

Dela 1+i\sqrt{7} med -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{7} från 1.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{-2}$$

Dela 1-i\sqrt{7} med -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Subtrahera 4x från båda led.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Slå ihop 3x och -4x för att få -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Subtrahera 3 från båda led.

$$-x-x^{2}=5-3$$

Subtrahera 3 från 5 för att få 2.

$$-x-x^{2}=2$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x=2$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{2}{-1}$$

Dela -1 med -1.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-1}$$

Dela 2 med -1.

$$x^{2}+x=-2$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Addera -2 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$