Lös 39x^2+200x+209

$$39 x ^ { 2 } + 200 x + 209$$

Faktorisera

$$\left(3x+11\right)\left(13x+19\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 39x^{2}+ax+bx+209. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=200 ab=39\times 209=8151$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 8151.

$$1,8151 3,2717 11,741 13,627 19,429 33,247 39,209 57,143$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+8151=8152 3+2717=2720 11+741=752 13+627=640 19+429=448 33+247=280 39+209=248 57+143=200$$

Lösningen är det par som ger Summa 200.

$$a=57 b=143$$

Skriv om 39x^{2}+200x+209 som \left(39x^{2}+57x\right)+\left(143x+209\right).

$$\left(39x^{2}+57x\right)+\left(143x+209\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 11 i den andra gruppen.

$$3x\left(13x+19\right)+11\left(13x+19\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 13x+19 genom att använda distributivitet.

$$\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$39x^{2}+200x+209=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 39\times 209}}{2\times 39}$$

Kvadrera 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 39\times 209}}{2\times 39}$$

Multiplicera -4 med 39.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-156\times 209}}{2\times 39}$$

Multiplicera -156 med 209.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-32604}}{2\times 39}$$

Addera 40000 till -32604.

$$x=\frac{-200±\sqrt{7396}}{2\times 39}$$

Dra kvadratroten ur 7396.

$$x=\frac{-200±86}{2\times 39}$$

Multiplicera 2 med 39.

$$x=\frac{-200±86}{78}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-200±86}{78} när ± är plus. Addera -200 till 86.

$$x=-\frac{114}{78}$$

Minska bråktalet \frac{-114}{78} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{19}{13}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-200±86}{78} när ± är minus. Subtrahera 86 från -200.

$$x=-\frac{286}{78}$$

Minska bråktalet \frac{-286}{78} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 26.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med -\frac{19}{13} och x_{2} med -\frac{11}{3}.

$$39x^{2}+200x+209=39\left(x-\left(-\frac{19}{13}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{11}{3}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$39x^{2}+200x+209=39\left(x+\frac{19}{13}\right)\left(x+\frac{11}{3}\right)$$

Addera \frac{19}{13} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{13x+19}{13}\left(x+\frac{11}{3}\right)$$

Addera \frac{11}{3} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{13x+19}{13}\times \frac{3x+11}{3}$$

Multiplicera \frac{13x+19}{13} med \frac{3x+11}{3} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)}{13\times 3}$$

Multiplicera 13 med 3.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)}{39}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 39 i 39 och 39.

$$39x^{2}+200x+209=\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)$$

Beräkna

$$\left(3x+11\right)\left(13x+19\right)$$