Lös 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 31, b med -3 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Kvadrera -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Multiplicera -4 med 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Addera 9 till -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Dra kvadratroten ur -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Multiplicera 2 med 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} när ± är plus. Addera 3 till i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{115} från 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Dividera båda led med 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Division med 31 tar ut multiplikationen med 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Dividera -\frac{3}{31}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{62}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{62} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{62} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Addera -\frac{1}{31} till \frac{9}{3844} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Addera \frac{3}{62} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$