Lös 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Lös ut b

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 15b^{2}+ab+bb-8. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -14.

$$a=-20 b=6$$

Skriv om 15b^{2}-14b-8 som \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

Utfaktor 5b i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3b-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Lös 3b-4=0 och 5b+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 30, b med -28 och c med -16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Kvadrera -28.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multiplicera -4 med 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multiplicera -120 med -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Addera 784 till 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Dra kvadratroten ur 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

Motsatsen till -28 är 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Multiplicera 2 med 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Lös nu ekvationen b=\frac{28±52}{60} när ± är plus. Addera 28 till 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Minska bråktalet \frac{80}{60} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 20.

$$b=\frac{4}{3}$$

Lös nu ekvationen b=\frac{28±52}{60} när ± är minus. Subtrahera 52 från 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Minska bråktalet \frac{-24}{60} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 12.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Addera 16 till båda ekvationsled.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Subtraktion av -16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Subtrahera -16 från 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Dividera båda led med 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

Division med 30 tar ut multiplikationen med 30.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Minska bråktalet \frac{-28}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Minska bråktalet \frac{16}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Dividera -\frac{14}{15}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{15}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{15} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{15} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Addera \frac{8}{15} till \frac{49}{225} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Faktorisera b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Förenkla.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Addera \frac{7}{15} till båda ekvationsled.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$