Lös 30=25x+1/2-981x^2

$$30 = 25x+ \frac{ 1 }{ 2 } -981 { x }^{ 2 }$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{25+\sqrt{115133}i}{1962}\approx 0,0127421+0,172942171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115133}i+25}{1962}\approx 0,0127421-0,172942171i$$

Steg med lösningsformeln

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$25x+\frac{1}{2}-981x^{2}=30$$

Subtrahera 30 från båda led.

$$25x+\frac{1}{2}-981x^{2}-30=0$$

Subtrahera 30 från \frac{1}{2} för att få -\frac{59}{2}.

$$25x-\frac{59}{2}-981x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-981x^{2}+25x-\frac{59}{2}=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -981, b med 25 och c med -\frac{59}{2} i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\left(-981\right)\left(-\frac{59}{2}\right)}}{2\left(-981\right)}$$

Kvadrera 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\left(-981\right)\left(-\frac{59}{2}\right)}}{2\left(-981\right)}$$

Multiplicera -4 med -981.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+3924\left(-\frac{59}{2}\right)}}{2\left(-981\right)}$$

Multiplicera 3924 med -\frac{59}{2}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-115758}}{2\left(-981\right)}$$

Addera 625 till -115758.

$$x=\frac{-25±\sqrt{-115133}}{2\left(-981\right)}$$

Dra kvadratroten ur -115133.

$$x=\frac{-25±\sqrt{115133}i}{2\left(-981\right)}$$

Multiplicera 2 med -981.

$$x=\frac{-25±\sqrt{115133}i}{-1962}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-25±\sqrt{115133}i}{-1962} när ± är plus. Addera -25 till i\sqrt{115133}.

$$x=\frac{-25+\sqrt{115133}i}{-1962}$$

Dela -25+i\sqrt{115133} med -1962.

$$x=\frac{-\sqrt{115133}i+25}{1962}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-25±\sqrt{115133}i}{-1962} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{115133} från -25.

$$x=\frac{-\sqrt{115133}i-25}{-1962}$$

Dela -25-i\sqrt{115133} med -1962.

$$x=\frac{25+\sqrt{115133}i}{1962}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{115133}i+25}{1962} x=\frac{25+\sqrt{115133}i}{1962}$$

Steg för kvadratkomplettering

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$25x+\frac{1}{2}-981x^{2}=30$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda led.

$$25x-981x^{2}=30-\frac{1}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från 30 för att få \frac{59}{2}.

$$25x-981x^{2}=\frac{59}{2}$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-981x^{2}+25x=\frac{59}{2}$$

Dividera båda led med -981.

$$\frac{-981x^{2}+25x}{-981}=\frac{\frac{59}{2}}{-981}$$

Division med -981 tar ut multiplikationen med -981.

$$x^{2}+\frac{25}{-981}x=\frac{\frac{59}{2}}{-981}$$

Dela 25 med -981.

$$x^{2}-\frac{25}{981}x=\frac{\frac{59}{2}}{-981}$$

Dela \frac{59}{2} med -981.

$$x^{2}-\frac{25}{981}x=-\frac{59}{1962}$$

Dividera -\frac{25}{981}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{25}{1962}. Addera sedan kvadraten av -\frac{25}{1962} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{25}{981}x+\left(-\frac{25}{1962}\right)^{2}=-\frac{59}{1962}+\left(-\frac{25}{1962}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{25}{1962} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{25}{981}x+\frac{625}{3849444}=-\frac{59}{1962}+\frac{625}{3849444}$$

Addera -\frac{59}{1962} till \frac{625}{3849444} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{25}{981}x+\frac{625}{3849444}=-\frac{115133}{3849444}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{25}{981}x+\frac{625}{3849444}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{25}{1962}\right)^{2}=-\frac{115133}{3849444}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{1962}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115133}{3849444}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{25}{1962}=\frac{\sqrt{115133}i}{1962} x-\frac{25}{1962}=-\frac{\sqrt{115133}i}{1962}$$

Addera \frac{25}{1962} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{25+\sqrt{115133}i}{1962} x=\frac{-\sqrt{115133}i+25}{1962}$$