Lös 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Faktorisera

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 3z^{2}+az+bz-5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -15.

$$-1,15 -3,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Lösningen är det par som ger Summa 14.

$$a=-1 b=15$$

Skriv om 3z^{2}+14z-5 som \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Utfaktor z i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3z-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 14.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Addera 196 till 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-14±16}{6} när ± är plus. Addera -14 till 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Minska bråktalet \frac{2}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-14±16}{6} när ± är minus. Subtrahera 16 från -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Dela -30 med 6.

$$z=-5$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med \frac{1}{3} och x_{2} med -5.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Subtrahera \frac{1}{3} från z genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 3 i 3 och 3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Beräkna

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$