Lös 3y^2+y-7=0

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

Lös ut y

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1,369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1,70325741$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 1 och c med -7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -7.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

Addera 1 till 84.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} när ± är plus. Addera -1 till \sqrt{85}.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{85} från -1.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Addera 7 till båda ekvationsled.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Subtraktion av -7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

Subtrahera -7 från 0.

$$3y^{2}+y=7$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Dividera \frac{1}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Addera \frac{7}{3} till \frac{1}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

Faktorisera y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

Förenkla.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

Subtrahera \frac{1}{6} från båda ekvationsled.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$