Lös 3y^2+7y+4=0

$$3 y ^ { 2 } + 7 y + 4 = 0$$

Lös ut y

$$y = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$y=-1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3y^{2}+ay+by+4. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=3\times 4=12$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=3 b=4$$

Skriv om 3y^{2}+7y+4 som \left(3y^{2}+3y\right)+\left(4y+4\right).

$$\left(3y^{2}+3y\right)+\left(4y+4\right)$$

Utfaktor 3y i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$3y\left(y+1\right)+4\left(y+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen y+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(y+1\right)\left(3y+4\right)$$

Lös y+1=0 och 3y+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$y=-1 y=-\frac{4}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3y^{2}+7y+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 7 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kvadrera 7.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 4.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

Addera 49 till -48.

$$y=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 1.

$$y=\frac{-7±1}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$y=\frac{-7±1}{6}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-7±1}{6} när ± är plus. Addera -7 till 1.

$$y=-\frac{6}{6}$$

Dela -6 med 6.

$$y=-1$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-7±1}{6} när ± är minus. Subtrahera 1 från -7.

$$y=-\frac{8}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-8}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=-1 y=-\frac{4}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}+7y+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$3y^{2}+7y+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3y^{2}+7y=-4$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3y^{2}+7y}{3}=-\frac{4}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$y^{2}+\frac{7}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Dividera \frac{7}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{7}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{7}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}+\frac{7}{3}y+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{7}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}+\frac{7}{3}y+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

Addera -\frac{4}{3} till \frac{49}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y^{2}+\frac{7}{3}y+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktorisera y^{2}+\frac{7}{3}y+\frac{49}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Förenkla.

$$y+\frac{7}{6}=\frac{1}{6} y+\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

Subtrahera \frac{7}{6} från båda ekvationsled.

$$y=-1 y=-\frac{4}{3}$$