Lös 3x-5y=16;x-3y=8

$$3 x - 5 y = 16 ; x - 3 y = 8$$

Lös ut x, y

$$x=2$$

$$y=-2$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$3x-5y=16,x-3y=8$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$3x-5y=16$$

Addera 5y till båda ekvationsled.

$$3x=5y+16$$

Dividera båda led med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+16\right)$$

Multiplicera \frac{1}{3} med 5y+16.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}$$

Ersätt x med \frac{5y+16}{3} i den andra ekvationen, x-3y=8.

$$\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}-3y=8$$

Addera \frac{5y}{3} till -3y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}=8$$

Subtrahera \frac{16}{3} från båda ekvationsled.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{8}{3}$$

Dela båda ekvationsled med -\frac{4}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=-2$$

Ersätt y med -2 i x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)+\frac{16}{3}$$

Multiplicera \frac{5}{3} med -2.

$$x=\frac{-10+16}{3}$$

Addera \frac{16}{3} till -\frac{10}{3} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=2$$

Systemet har lösts.

$$x=2,y=-2$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3x-5y=16,x-3y=8$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{5}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16-\frac{5}{4}\times 8\\\frac{1}{4}\times 16-\frac{3}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=2,y=-2$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3x-5y=16,x-3y=8$$

Gör 3x och x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 3.

$$3x-5y=16,3x+3\left(-3\right)y=3\times 8$$

Förenkla.

$$3x-5y=16,3x-9y=24$$

Subtrahera 3x-9y=24 från 3x-5y=16 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$3x-3x-5y+9y=16-24$$

Addera 3x till -3x. Termerna 3x och -3x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-5y+9y=16-24$$

Addera -5y till 9y.

$$4y=16-24$$

Addera 16 till -24.

$$4y=-8$$

Dividera båda led med 4.

$$y=-2$$

Ersätt y med -2 i x-3y=8. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x-3\left(-2\right)=8$$

Multiplicera -3 med -2.

$$x+6=8$$

Subtrahera 6 från båda ekvationsled.

$$x=2$$

Systemet har lösts.

$$x=2,y=-2$$