Lös 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -8 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Addera 64 till 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 76.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Motsatsen till -8 är 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} när ± är plus. Addera 8 till 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Dela 8+2\sqrt{19} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{19} från 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Dela 8-2\sqrt{19} med 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividera -\frac{8}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{4}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{4}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{4}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Addera \frac{1}{3} till \frac{16}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Addera \frac{4}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$