Lös 3x^2-5x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-5x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -5 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48}}{2\times 3}$$

Addera 25 till -48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-23}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -23.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6} när ± är plus. Addera 5 till i\sqrt{23}.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{23} från 5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}-5x+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-5x=-4$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Dividera -\frac{5}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Addera -\frac{4}{3} till \frac{25}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Addera \frac{5}{6} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$