Lös 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Lös ut x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx+84. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Lösningen är det par som ger Summa -32.

$$a=-18 b=-14$$

Skriv om 3x^{2}-32x+84 som \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den -14 i den andra gruppen.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-6 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Lös x-6=0 och 3x-14=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -32 och c med 84 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Kvadrera -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Addera 1024 till -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Motsatsen till -32 är 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{32±4}{6} när ± är plus. Addera 32 till 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dela 36 med 6.

$$x=6$$

Lös nu ekvationen x=\frac{32±4}{6} när ± är minus. Subtrahera 4 från 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Minska bråktalet \frac{28}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Subtrahera 84 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Subtraktion av 84 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Dela -84 med 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Dividera -\frac{32}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{16}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{16}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{16}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Addera -28 till \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Addera \frac{16}{3} till båda ekvationsled.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$