Lös 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -20 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrera -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Addera 400 till -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Motsatsen till -20 är 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} när ± är plus. Addera 20 till 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Dela 20+2\sqrt{97} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{97} från 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Dela 20-2\sqrt{97} med 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividera -\frac{20}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{10}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{10}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{10}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Addera -\frac{1}{3} till \frac{100}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Addera \frac{10}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$