Lös 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Lös ut x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx-16. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -2.

$$a=-8 b=6$$

Skriv om 3x^{2}-2x-16 som \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Utfaktor x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-8 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Lös 3x-8=0 och x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -2 och c med -16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Addera 4 till 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±14}{6} när ± är plus. Addera 2 till 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Minska bråktalet \frac{16}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±14}{6} när ± är minus. Subtrahera 14 från 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Dela -12 med 6.

$$x=-2$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Addera 16 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Subtraktion av -16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Subtrahera -16 från 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Dividera -\frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Addera \frac{16}{3} till \frac{1}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Addera \frac{1}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$