Lös 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx-1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=-3 b=1$$

Skriv om 3x^{2}-2x-1 som \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Bryt ut 3x i 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Bryt ut den gemensamma termen x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Lös x-1=0 och 3x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -2 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Addera 4 till 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±4}{6} när ± är plus. Addera 2 till 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dela 6 med 6.

$$x=1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±4}{6} när ± är minus. Subtrahera 4 från 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividera -\frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Addera \frac{1}{3} till \frac{1}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Addera \frac{1}{3} till båda ekvationsled.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$