Lös 3x^2-2x+1=100

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 100$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{298} + 1}{3} \approx 6,087558834$$

$$x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}\approx -5,420892167$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-2x+1=100$$

Subtrahera 100 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}-2x+1-100=100-100$$

Subtraktion av 100 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-2x+1-100=0$$

Subtrahera 100 från 1.

$$3x^{2}-2x-99=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -2 och c med -99 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-99\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-99\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-99\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -99.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1188}}{2\times 3}$$

Addera 4 till 1188.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1192}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 1192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{298}}{2\times 3}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{298}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{298}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{298}}{6} när ± är plus. Addera 2 till 2\sqrt{298}.

$$x=\frac{2\sqrt{298}+2}{6}$$

Dela 2+2\sqrt{298} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{298}+1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{298}}{6} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{298} från 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{298}}{6}$$

Dela 2-2\sqrt{298} med 6.

$$x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{298}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+1=100$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}-2x+1-1=100-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-2x=100-1$$

Subtrahera 1 från 100.

$$3x^{2}-2x=99$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{99}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{99}{3}$$

Dela 99 med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=33$$

Dividera -\frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=33+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=33+\frac{1}{9}$$

Addera 33 till \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{298}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{298}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{298}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{298}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{298}}{3}$$

Addera \frac{1}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{298}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}$$