Lös 3x^2+x=11

$$3 x ^ { 2 } + x = 11$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{133} - 1}{6} \approx 1,755427099$$

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}\approx -2,088760432$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+x=11$$

Subtrahera 11 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+x-11=11-11$$

Subtraktion av 11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+x-11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 1 och c med -11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+132}}{2\times 3}$$

Addera 1 till 132.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} när ± är plus. Addera -1 till \sqrt{133}.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{133} från -1.

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x=11$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{11}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{11}{3}$$

Dividera \frac{1}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{11}{3}+\frac{1}{36}$$

Addera \frac{11}{3} till \frac{1}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{133}{36}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

Subtrahera \frac{1}{6} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$