Lös 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Lös ut x

$$x=-5$$

$$x=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx-10. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Lösningen är det par som ger Summa 3.

$$a=-2 b=5$$

Skriv om x^{2}+3x-10 som \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Utfaktor x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Lös x-2=0 och x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=2 x=-5$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 9 och c med -30 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Addera 81 till 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±21}{6} när ± är plus. Addera -9 till 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

Dela 12 med 6.

$$x=2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±21}{6} när ± är minus. Subtrahera 21 från -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Dela -30 med 6.

$$x=-5$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2 x=-5$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Addera 30 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Subtraktion av -30 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

Subtrahera -30 från 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

Dela 9 med 3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

Dela 30 med 3.

$$x^{2}+3x=10$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Addera 10 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktorisera x^{2}+3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$x=2 x=-5$$