Lös 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

Lös ut x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 90 från båda led.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Subtrahera 90 från 6 för att få -84.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Dividera båda led med 3.

$$x^{2}+3x-28=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx-28. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Lösningen är det par som ger Summa 3.

$$a=-4 b=7$$

Skriv om x^{2}+3x-28 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Utfaktor x i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Lös x-4=0 och x+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=4 x=-7$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Subtrahera 90 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

Subtraktion av 90 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Subtrahera 90 från 6.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 9 och c med -84 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Addera 81 till 1008.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 1089.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±33}{6} när ± är plus. Addera -9 till 33.

$$x=\frac{24}{6}$$

Dela 24 med 6.

$$x=4$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±33}{6} när ± är minus. Subtrahera 33 från -9.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Dela -42 med 6.

$$x=-7$$

Ekvationen har lösts.

$$x=4 x=-7$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Subtrahera 6 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

Subtraktion av 6 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

Subtrahera 6 från 90.

$$3x^{2}+9x=84$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

Dela 9 med 3.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

Dela 84 med 3.

$$x^{2}+3x=28$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Addera 28 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktorisera x^{2}+3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$x=4 x=-7$$