Lös 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0,215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1,54858377$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 4 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

Addera 16 till 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 28.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} när ± är plus. Addera -4 till 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

Dela -4+2\sqrt{7} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{7} från -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

Dela -4-2\sqrt{7} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$3x^{2}+4x=1$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividera \frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Addera \frac{1}{3} till \frac{4}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Subtrahera \frac{2}{3} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$