Lös 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 2 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Addera 4 till -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} när ± är plus. Addera -2 till 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Dela -2+2i\sqrt{2} med 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{2} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Dela -2-2i\sqrt{2} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividera \frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Addera -\frac{1}{3} till \frac{1}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Subtrahera \frac{1}{3} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$