Lös 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Lös ut x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx-35. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Lösningen är det par som ger Summa 16.

$$a=-5 b=21$$

Skriv om 3x^{2}+16x-35 som \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Utfaktor x i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Lös 3x-5=0 och x+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 16 och c med -35 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Addera 256 till 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-16±26}{6} när ± är plus. Addera -16 till 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Minska bråktalet \frac{10}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-16±26}{6} när ± är minus. Subtrahera 26 från -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Dela -42 med 6.

$$x=-7$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Addera 35 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Subtraktion av -35 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Subtrahera -35 från 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Dividera \frac{16}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{8}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{8}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{8}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Addera \frac{35}{3} till \frac{64}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Subtrahera \frac{8}{3} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$