Lös 3x^2+15x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 15 x - 12 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}\approx 0,701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}\approx -5,701562119$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 15 och c med -12 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 15.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -12.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+144}}{2\times 3}$$

Addera 225 till 144.

$$x=\frac{-15±\sqrt{369}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 369.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6} när ± är plus. Addera -15 till 3\sqrt{41}.

$$x=\frac{3\sqrt{41}-15}{6}$$

Dela -15+3\sqrt{41} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{41} från -15.

$$x=\frac{-3\sqrt{41}-15}{6}$$

Dela -15-3\sqrt{41} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Addera 12 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}+15x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Subtraktion av -12 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+15x=-\left(-12\right)$$

Subtrahera -12 från 0.

$$3x^{2}+15x=12$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+15x}{3}=\frac{12}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{15}{3}x=\frac{12}{3}$$

Dela 15 med 3.

$$x^{2}+5x=\frac{12}{3}$$

Dela 12 med 3.

$$x^{2}+5x=4$$

Dividera 5, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=4+\frac{25}{4}$$

Addera 4 till \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{41}{4}$$

Faktorisera x^{2}+5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Subtrahera \frac{5}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$