Lös 3x^2+11x+2=15

$$3 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 15$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6}\approx 0,94055283$$

$$x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}\approx -4,607219496$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+11x+2=15$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+11x+2-15=15-15$$

Subtraktion av 15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+11x+2-15=0$$

Subtrahera 15 från 2.

$$3x^{2}+11x-13=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 11 och c med -13 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -13.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+156}}{2\times 3}$$

Addera 121 till 156.

$$x=\frac{-11±\sqrt{277}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{277}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±\sqrt{277}}{6} när ± är plus. Addera -11 till \sqrt{277}.

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±\sqrt{277}}{6} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{277} från -11.

$$x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6} x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x+2=15$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+11x+2-2=15-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+11x=15-2$$

Subtrahera 2 från 15.

$$3x^{2}+11x=13$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{13}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{13}{3}$$

Dividera \frac{11}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{11}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{11}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{11}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{13}{3}+\frac{121}{36}$$

Addera \frac{13}{3} till \frac{121}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{277}{36}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{277}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{277}{36}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{277}}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{277}}{6}$$

Subtrahera \frac{11}{6} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6} x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}$$