Lös 3x+y-10=0;3x-y+4=0

$$3 x + y - 10 = 0 ; 3 x - y + 4 = 0$$

Lös ut x, y

$$x=1$$

$$y=7$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$3x+y-10=0,3x-y+4=0$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$3x+y-10=0$$

Addera 10 till båda ekvationsled.

$$3x+y=10$$

Subtrahera y från båda ekvationsled.

$$3x=-y+10$$

Dividera båda led med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

Multiplicera \frac{1}{3} med -y+10.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

Ersätt x med \frac{-y+10}{3} i den andra ekvationen, 3x-y+4=0.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y+4=0$$

Multiplicera 3 med \frac{-y+10}{3}.

$$-y+10-y+4=0$$

Addera -y till -y.

$$-2y+10+4=0$$

Addera 10 till 4.

$$-2y+14=0$$

Subtrahera 14 från båda ekvationsled.

$$-2y=-14$$

Dividera båda led med -2.

$$y=7$$

Ersätt y med 7 i x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{1}{3}\times 7+\frac{10}{3}$$

Multiplicera -\frac{1}{3} med 7.

$$x=\frac{-7+10}{3}$$

Addera \frac{10}{3} till -\frac{7}{3} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=1$$

Systemet har lösts.

$$x=1,y=7$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3x+y-10=0,3x-y+4=0$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-3}&\frac{3}{3\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\left(-4\right)\\\frac{1}{2}\times 10-\frac{1}{2}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=1,y=7$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3x+y-10=0,3x-y+4=0$$

Subtrahera 3x-y+4=0 från 3x+y-10=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$3x-3x+y+y-10-4=0$$

Addera 3x till -3x. Termerna 3x och -3x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$y+y-10-4=0$$

Addera y till y.

$$2y-10-4=0$$

Addera -10 till -4.

$$2y-14=0$$

Addera 14 till båda ekvationsled.

$$2y=14$$

Dividera båda led med 2.

$$y=7$$

Ersätt y med 7 i 3x-y+4=0. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$3x-7+4=0$$

Addera -7 till 4.

$$3x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$3x=3$$

Dividera båda led med 3.

$$x=1$$

Systemet har lösts.

$$x=1,y=7$$