Lös 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Lös ut x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 6y från båda led.

$$3x+9-6y=0$$

Subtrahera 9 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$3x-6y=-9$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 12 på båda sidorna. Noll plus något blir detta något.

$$-2x-2y=12$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$3x-6y=-9$$

Addera 6y till båda ekvationsled.

$$3x=6y-9$$

Dividera båda led med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Multiplicera \frac{1}{3} med 6y-9.

$$x=2y-3$$

Ersätt x med 2y-3 i den andra ekvationen, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Multiplicera -2 med 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Addera -4y till -2y.

$$-6y+6=12$$

Subtrahera 6 från båda ekvationsled.

$$-6y=6$$

Dividera båda led med -6.

$$y=-1$$

Ersätt y med -1 i x=2y-3. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=-2-3$$

Addera -3 till -2.

$$x=-5$$

Systemet har lösts.

$$x=-5,y=-1$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 6y från båda led.

$$3x+9-6y=0$$

Subtrahera 9 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$3x-6y=-9$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 12 på båda sidorna. Noll plus något blir detta något.

$$-2x-2y=12$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=-5,y=-1$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 6y från båda led.

$$3x+9-6y=0$$

Subtrahera 9 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$3x-6y=-9$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 12 på båda sidorna. Noll plus något blir detta något.

$$-2x-2y=12$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Gör 3x och -2x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med -2 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Förenkla.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Subtrahera -6x-6y=36 från -6x+12y=18 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Addera -6x till 6x. Termerna -6x och 6x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$12y+6y=18-36$$

Addera 12y till 6y.

$$18y=18-36$$

Addera 18 till -36.

$$18y=-18$$

Dividera båda led med 18.

$$y=-1$$

Ersätt y med -1 i -2x-2y=12. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Multiplicera -2 med -1.

$$-2x+2=12$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$-2x=10$$

Dividera båda led med -2.

$$x=-5$$

Systemet har lösts.

$$x=-5,y=-1$$